Question

如圖，在△ABC中，延長AC至點D，使CD=BC，連接BD，作CE⊥AB于點E，DF⊥BC交BC的延長線于點F，且CE=DF．
（1）求證：AB=AC；
（2）如果∠ABD=105°，求∠A的度數．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF，得到∠ABC=∠DCF，然后由對頂角相等可得：∠DCF=∠ACB，進而可得∠ABC=∠ACB，然后由等角對等邊，可得AB=AC；
（2）由CD=BC，可得∠CBD=∠CDB，然后由三角形的外角的性質可得：∠ACB=∠CBD+∠CDB=2∠CBD，由∠ABC=∠ACB，進而可得：∠ABC=2∠CBD，然后由∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，進而可求：∠CBD的度數及∠ABC的度數，然后由三角形的內角和定理即可求∠A的度數．

解答： （1）證明：∵CE⊥AB，DF⊥BC，
∴△BCE和△DCF均是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，

BC=CD CE=DF

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴∠ABC=∠DCF，
∵∠DCF=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）解：∵CD=BC，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ACB=∠CBD+∠CDB，
∴∠ACB=2∠CBD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，
∴∠CBD=35°，
∴∠ABC=2∠CBD=70°，
∴∠A=180°-2∠ABC=40°．

點評：此題考查了直角三角形全等的判定與性質，及等腰三角形判定與性質，解題的關鍵是：熟記三角形全等的判定與性質．