Question

如圖所示，已知△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，交BC于E，AB=20，AC=12．
（1）求BE的長；
（2）求四邊形ADEC的面積．

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，易證得△EBD∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案；
（2）首先求得△ABC與△BED的面積，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠EDB=∠C=90°，
∵∠B是公共角，
∴△EBD∽△ABC，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
∵AB=20，AC=12，
∴BC=

AB2-AC2

=16，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=

1

2

AB=10，
∴BE=

AB•BD

BC

=

20×10

16

=12.5；

（2）在Rt△BED中，ED=

BE2-BD2

=

(12.5)2-102

=7.5，
∴S_△EBD=

1

2

ED•DB=

1

2

×7.5×10=37.5，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×12×16=96，
∴S_{四邊形ADEC}=S_△ABC-S_△EBD=96-37.5=58.5．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．