Question

（2013•寶應縣一模）拋物線y=-x²+bx+c與x軸交與A（1，0），B（-3，0）兩點，
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與y軸交于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A、點B的坐標代入可求出b、c的值，繼而可得出該拋物線的解析式；
（2）連接BC，則BC與對稱軸的交點，即是點Q的位置，求出直線BC的解析式后，可得出點Q的坐標．

解答：解（1）把A（1，0）、B（-3，0）代入拋物線解析式可得：

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=3

故拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）存在．

由題意得，點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，連接BC，則BC與拋物線對稱軸的交點是點Q的位置，
設直線BC解析式為y=kx+b，把B（-3，0）、C（0，3）代入得：

-3k+b=0 b=3

，
解得：

k=1 b=3

，
則直線BC的解析式為y=x+3，
令Q_X=-1 得Q_y=2，
故點Q的坐標為：（-1，2）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，涉及了頂點坐標的求解、三角形的面積及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題的關鍵是熟練各個知識點，注意培養自己解綜合題的能力．