Question

如圖，△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°．動點P，Q分別從A，B兩點同時出發，分別沿AB，BC方向勻速移動．它們的速度分別為2cm/s和lcm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？
（2）設四邊形APQC的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式；當點P運動到什么位置時，四邊形APQC的面積最小，并求出最小面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）用t表示出AP、BQ、BP，然后分①∠BQP=90°，②∠BPQ=90°兩種情況，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半列式計算即可得解；
（2）過P作PM⊥BC于M，求出PM的長度，然后表示出△PBQ的面積，在過點A作AN⊥BC于N，然后求出AN的長度，再求出△ABC的面積，然后根據S_{四邊形APQC}=S_△ABC-S_△PBQ整理即可得到y與t的函數關系式，再根據二次函數的最值問題求出t的值，即可得到點P得到位置．
解答：解：（1）根據題意，得AP=2tcm，BQ=tcm，
∵AB=6cm，
∴BP=（6-2t） cm，
若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①當∠BQP=90°時，∵∠B=60°，
∴∠BPQ=90°-60°=30°，
∴BQ=BP，
即t=（6-2t），
解得t=（秒）．
②當∠BPQ=90°時，∵∠B=60°，
∴∠BQP=90°-60°=30°，
∴BP=BQ，
即6-2t=t，
解得t=（秒），
答：當t=秒或t=秒時，△PBQ是直角三角形；

（2）過P作PM⊥BC于M，
則Rt△PBM中，sinB=，
∴PM=PB•sin60°=（6-2t）=（3-t），
S_△PBQ=BQ•PM=t•（3-t），
過A作AN⊥BC于N，
則Rt△ABN中，sinB=，
∴AN=AB•sin60°=6×=3，
∴S_△ABC=BC•AN=×4×3=6，
∴y=S_△ABC-S_△PBQ=6-t•（3-t）=t²-t+6，
∴y與x之間的函數關系式為y=t²-t+6，
又∵y=t²-t+6=（t-）²+，
∴當t=時，即AP=2t=3（cm），點P運動到邊AB的中點時，四邊形APQC的面積最小，其最小面積為．
點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，二次函數的最值問題，解直角三角形，（1）要注意分情況討論，（2）根據四邊形APQC的面積等于兩個三角形的面積的差列式是解題的關鍵，也是常用的方法之一．