Question

如圖，二次函數（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點．連結兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數的函數值相等．

（1）求實數的值；

（2）若點同時從點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，連結，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；

（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

(1)　 由題意知；，解得：

（2）由（1）得y=

當y=0時，x=-3或1

∴B（1，0），A（-3，0），C（0，）

∴OA=3，OB=1，OC=。

易求AC=2，BC=2，AB=4

∴△ABC為Rt△，且∠ACB=90°，∠A=30, ∠B=60°

∵BM=BN=PM=PN，∴四邊行PMBN為菱形

∴PN∥AB，∴PN／AB=CN／CB，即t／4＝2－t／2

∴t=4／3

過P作PE⊥AB于E

在Rt△PEM中，∠PME=∠B=60°,PM=4／3

∴PE=PM?sin60°＝

　　 ME=PE／sin60°=2／3

∵OM=BM-OB=1／3, ∴OE=1

∴P（-1，）

(3)拋物線y=的對稱軸為x=-1,且∠ACB=90°

①　　 若∠BQN=90°,

∵BN的中點到對稱軸的距離大于1，而

0.5BM=2／3＜1, ∴以BN為直徑的圓不與對稱軸相交，

∴∠BQN≠90°

即此時不存在符合條件的Q點

②　　 若∠BNQ=90°

當∠NBQ=60°,則Q,E重合

此時∠BQN≠90°

即此時不存在符合條件的Q

③　　 若∠BNQ=90°時，延長NM交對稱軸于Q點,此時,Q為P關于軸的對稱點

∴Q-1，-為所求