Question

如圖，二次函數y=ax²的圖象與一次函數y=x+b的圖象相交于A（-2，2）、B兩點，從點A和點B分別引平行于y軸的直線與x軸分別交于C，D兩點，點P（t，0），為線段CD上的動點，過點P且平行于y軸的直線與拋物線和直線分別交于R，S．
（1）求一次函數和二次函數的解析式，并求出點B的坐標；
（2）當SR=2RP時，計算線段SR的長；
（3）若線段BD上有一動點Q且其縱坐標為t+3，問是否存在t的值，使S_△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點坐標分別代入拋物線和直線的解析式中即可求出兩函數的解析式．然后聯立兩函數的函數式即可求出B點的坐標．
（2）線段SR實際是直線AB的函數值和拋物線函數值的差．而RP的長實際是R點的縱坐標，根據SR=2RP可得出一個關于P點橫坐標t的方程，據此可求出P點的橫坐標t．然后代入SR的表達式即可求出SR的長．
（3）可用t表示出BQ的長，再根據D，P的坐標用t表示出R到BD的距離，然后根據三角形的面積公式即可得出△BRQ的面積表達式，根據其面積為15可求出t的值．

解答：解：（1）由題意知點A（-2，2）在y=ax²的圖象上，又在y=x+b的圖象上
所以得2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=

1

2

，b=4．
∴一次函數的解析式為y=x+4．
二次函數的解析式為y=

1

2

x²．
由

y=x+4 y= 1 2 x2

，
解得

x=-2 y=2

或

x=4 y=8

，
所以B點的坐標為（4，8）．

（2）因過點P（t，0）且平行于y軸的直線為x=t，

x=t y=x+4

得

x=t y=t+4

，
所以點S的坐標（t，t+4）．
由

x=t y= 1 2 x2

得

x=t y= 1 2 t2

，
所以點R的坐標（t，

1

2

t²）．
所以SR=t+4-

1

2

t²，RP=

1

2

t²．
由SR=2RP得t+4-

1

2

t²=2×

1

2

t²，
解得t=-

4

3

或t=2．
因點P（t，0）為線段CD上的動點，
所以-2≤t≤4，
所以t=-

4

3

或t=2
當t=2時，SR=2+4-

1

2

×2²=4
所以線段SR的長為

16

9

或4．

（3）存在符合題意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，點R到直線BD的距離為4-t，
所以S_△BRQ=

1

2

（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因為-2≤t≤4，
所以t=-1．

點評：本題考查一次函數和二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．