Question

已知：關于x的方程（k-1）x²-2kx+k+2=0 有實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x₁，x₂是方程（k-1）x²-2kx+k+2=0的兩個實數(shù)根（x₁≠x₂），且滿足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分為兩種情況：當k-1=0時和當k-1≠0時，求出即可；
（2）根據(jù)已知得出（k-1）x₁²-2kx₁+k+2=0①，x₁+x₂=-=，x₁•x₂=，推出x₂=-x₁，求出（k-1）x₁²-2kx₁+k+2+=4•②，把①代入②得出=4•，求出即可．
解答：解：（1）當k-1=0即k=1時，方程為-2x+3=0，
x=，即方程有實數(shù)根；
當k-1≠0時，△=（-2k）²-4•（k-1）•（k+2）≥0時，方程有實數(shù)根，
即k≤2，
綜合上述：k的取值范圍是k≤2；

（2）∵x₁，x₂是方程（k-1）x²-2kx+k+2=0的兩個實數(shù)根，
∴（k-1）x₁²-2kx₁+k+2=0①，
x₁+x₂=-=，x₁•x₂=，
∴x₂=-x₁，
∵（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂，
∴（k-1）x₁²+2k（-x₁）+k+2=4•
∴（k-1）x₁²+-2kx₁+k+2=4•
即：（k-1）x₁²-2kx₁+k+2+=4•②，
把①代入②得：=4•
k²-k-2=0，
k=2，k=-1，
當k=2時，△=0，即方程有兩個相等的實數(shù)根，
∵x₁≠x₂，
∴k=2舍去，
即k=-1．
點評：本題考查了一元二次方程的解和根的判別式，根與系數(shù)的關系等知識點的應用，題目比較好，但有一定的難度．