Question

【題目】已知，點(diǎn)P是等邊三角形△ABC中一點(diǎn)，線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接PQ、QC．

（1）求證：△BAP≌△CAQ．

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案；
（2）直接利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案．

（1）證明：∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，

∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，

∴△APQ是等邊三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，

∴∠BAP＝∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中，

，

∴△BAP≌△CAQ（SAS）；

（2）∵由（1）得△APQ是等邊三角形，

∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，

∵∠APB＝150°，

∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，

∵PB＝QC，

∴QC＝4，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC＝＝＝5．