Question

設直線y=kx+k-1和直線y=（k+1）x+k（k是正整數）及x軸圍成的三角形面積為S_k，則S₁+S₂+S₃+‥‥‥+S₂₀₁₁的值是______．

Answer 1

方程組

y=kx+k-1 y=(k+1)x+k

的解為

x=-1 y=-1

，
所以直線的交點是（-1，-1），
直線y=kx+k-1與x軸的交點為 (

1-k

k

，0)，y=（k+1）x+k與x軸的交點為（

-k

k+1

，0），
∴S_k=

1

2

×|-1|×|

1-k

k

-

-k

k+1

|=

1

2

|

1

k

-

1

k+1

|，
所以 S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₁=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2011

-

1

2012

）
=

1

2

×（1-

1

2012

）
=

1

2

×

2011

2012

=

2011

4024

．
故答案為：

2011

4024

．