Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“湘一四邊形”．

（1）已知：如圖1，四邊形是“湘一四邊形”，，，．則 ， ，若，，則 （直接寫答案）

（2）已知：在“湘一四邊形”中，，，，．求對角線的長（請畫圖求解），

（3）如圖（2）所示，在四邊形中，若，當時，此時四邊形是否是“湘一四邊形”，若是，請說明理由：若不是，請進一步判斷它的形狀，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）85°，115°，3；（2）AC的長為或；（3）四邊形ABCD不是“湘一四邊形”，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析

【解析】

（1）連接BD，根據“湘一四邊形”的定義求出∠B，∠C，利用等腰三角形的判定和性質證明BC=DC即可．
（2）分兩種情形：①如圖1-1，∠B=∠D=90°時，延長AD，BC交于點E．②如圖2-1中，∠A=∠C=60°時，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于點F，分別求解即可解決問題．
（3）結論：四邊形ABCD不是“湘一四邊形”，四邊形ABCD是平行四邊形．如圖2中，作CN⊥AD于N，AM⊥CB于M．利用全等三角形的性質證明AD=BC即可解決問題．

解：（1）如圖1中，連接BD．

∵四邊形ABCD是湘一四邊形，∠A≠∠C，
∴∠B=∠D=85°，
∵∠A=75°，
∴∠C=360°-75°-2×85°=115°，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=CD=3，
故答案為85°，115°，3．
（2）①如圖1-1，∠B=∠D=90°時，延長AD，BC交于點E，

∵∠DAB=60°，
∴∠E=30°，
又∵AB=4，AD=3
∴BE=4，AE=8，DE=5，
∴CE= ，
∴BC=BE-CE=4 ，
∴AC= ，
②如圖2-1中，∠A=∠C=60°時，過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于點F，

∵∠DAB=∠BCD=60°，
又∵AB=4，AD=3，
∴AE=，DE=BF= ，
∴BE=DF=，
∴CF=DFtan30°=× ，
∴BC=CF+BF= ，
∴AC= ，
綜合以上可得AC的長為或．
（3）結論：四邊形ABCD不是“湘一四邊形”，四邊形ABCD是平行四邊形．
理由：如圖2中，作CN⊥AD于N，AM⊥CB于M．

∵∠ADB=∠ABC，
∴∠CDN=∠ABM，
∵∠N=∠M=90°，CD=AB，
∴△CDN≌△ABM（AAS），
∴CN=AM，DN=BM，
∵AC=CA，CN=AM，
∴Rt△ACN≌Rt△CAM（HL），
∴AN=CM，∵DN=BM，
∴AD=BC，∵CD=AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．