Question

如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是上任一點（點P不與點A、B重合），連AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
（1）填空：∠APC=______度，∠BPC=______度；
（2）求證：△ACM≌△BCP；
（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角；
（2）利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等即可；
（3）利用上題證得的兩三角形全等判定△PCM為等邊三角形，進而求得PH的長，利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可．
解答：（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；

（2）證明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四點共圓，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
∴△ACM≌△BCP；

（3）解：作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP  AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，

在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S_梯形PBCM=（PB+CM）×PH==．
點評：本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、全等三角形的性質及梯形的面積計算方法，是一道比較復雜的幾何綜合題．