Question

如圖，等邊△ABC內接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O的半徑為1，則AE的長為（　　）

• A．

  3

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  3 3

  4

Answer 1

分析：作OH⊥BC，OF⊥AD，連結OB、OC、DE，根據等邊三角形的性質得∠BOC=120°，則∠OBC=30°，可計算得OH=

1

2

，BH=

3

2

，再根據垂徑定理得BC=2BH=

3

；然后根據切線的性質得OB⊥DB，易判斷四邊形BDFO為矩形，則DF=OB=1，設AF=x，則EF=x，DE=1-x，AD=1+x，接著根據切割線定理得到
BD²=1-x²，然后在Rt△ABD中利用根據定理可得到（1+x）²+1-x²=（

3

）²，解得x=

1

2

，由此得到AE=2x=1．

解答：解：作OH⊥BC，OF⊥AD，連結OB、OC、DE，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBH中，OH=

1

2

OB=

1

2

，
∴BH=

3

OH=

3

2

，
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，
∴BC=2BH=

3

，
∴AB=

3

，
∵BD切⊙O于B，
∴OB⊥DB，
而AD⊥BD，OH⊥BC，
∴∠OBD=∠D=∠DFO=90°，且AF=EF，
∴四邊形BDFO為矩形，
∴DF=OB=1，
設AF=x，則EF=x，DE=1-x，AD=1+x，
∵BD⊙O的切線，
∴BD²=DE•DA=（1-x）（1+x）=1-x²，
在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴（1+x）²+1-x²=（

3

）²，解得x=

1

2

，
∴AE=2x=1．
故選B．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂徑定理、勾股定理、切割線定理和等邊三角形性質．