Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，DF⊥BC，垂足為F，MN是梯形ABCD的中位線．         
求證：DF=MN．

Answer 1

分析：過點D作DG∥AC，交BC延長線于點G，可得四邊形ACGD是平行四邊形，然后根據BD=AC=DG易得△BDG是等腰直角三角形，可得DF=

1

2

BG=

1

2

（BC+CG），又已知MN為梯形的中位線，可得MN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（BC+CG），即可得證．

解答：證明：過點D作DG∥AC，交BC延長線于點G，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACGD是平行四邊形，
∴AD=CG，AC=DG，
在等腰梯形ABCD中，
∵AC=DB，
∴AC=BD=DG，
∴△BDG是等腰直角三角形．
∵DF⊥BC
∴DF=

1

2

BG=

1

2

（BC+CG），
又∵MN為中位線，
∴MN=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（BC+CG），
∴DF=MN．

點評：本題考查了等腰梯形的性質及梯形的中位線定理，難度較大，關鍵是通過巧妙地作輔助線進行證明．