Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線點F．問：
（1）圖中△APD與哪個三角形全等？并說明理由；
（2）求證：△APE∽△FPA；
（3）猜想：線段PC，PE，PF之間存在什么關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知利用SAS來判定兩三角形全等．
（2）根據每一問的結論及已知，利用兩組角相等則兩三角形相似來判定即可；
（3）根據相似三角形的對應邊成比例及全等三角形的對應邊相等即可得到結論．
解答：解：（1）△APD≌△CPD．
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．
又∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD．

證明：（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．

猜想：（3）PC²=PE•PF．
理由：∵△APE∽△FPA，
∴．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF．
點評：本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質等知識點，本題中依據三角形的全等或相似得出線段的相等或比例關系是解題的關鍵．