Question

已知P為?ABCD內一點，O為AC與BD的交點，M、N分別為PB，PC的中點，Q為AN與DM的交點，
求證：（1）P，Q，O三點在一條直線上；
（2）PQ=2OQ．

Answer 1

證明：如原圖，連PO，設PO與AN，DM分別交于點Q′，Q″．
在△PAC中，∵AO=OC，PN=NC，
∴Q′為重心，PQ′=2OQ′
在△PDB中，∵DO=BO，BM=MP，
∴Q″為重心，PQ″=2OQ″
這樣Q′=Q″，并且Q′，Q″就是AN，DM的交點Q．
故P，Q，O在一條直線上，且PQ=2OQ．
分析：可先分別假設出各個交點，進而通過論證得出其都為三角形的重心，所以可得三點重合，又有重心的性質，第（2）問即可證明．
點評：本題主要考查平行四邊形的性質及重心的性質，能夠熟練掌握．