Question

【題目】閱讀理解：在以后你的學習中，我們會學習一個定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若點D是斜邊AB的中點，則CD=AB.

靈活應用：如圖2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，點D是BC的中點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接BE， CE.

（1）求AD的長；

（2）判斷△BCE的形狀；

（3）求CE的長.

Answer 1

【答案】（1）AD=；（2）見解析；（3）CE=

【解析】

（1）依據勾股定理進行計算即可得到BC的長，再根據直角三角形斜邊上中線的性質即可得到結論；
（2）依據CD=DE=DB，可得∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，再根據三角形內角和定理，即可得出∠DEB+∠DEC=90°，進而得到△BCE是直角三角形；
（3）利用BCAH=ABAC，可得AH=，依據AD垂直平分線段BE，可得ADBO=BDAH，即可得出OB=，BE=2OB=，最后在Rt△BCE中，運用勾股定理可得EC= ．

（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得，BC==5，
∵點D是BC的中點，BCRt△ABC的斜邊，
∴AD=BC=；
（2）△BCE為直角三角形．理由：
∵D是BC的中點
∴CD=BD
∵將△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=DB，
∴CD=DE=DB，
∴∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，
∵∠DEC+∠DCE+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠DEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，

∴△BCE是直角三角形；
（3）如圖，連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
由題可得AD=DC=DB=，
∵BCAH=ABAC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB，
∴點A在BE的垂直平分線上，點D在BE的垂直平分線上，
∴AD垂直平分線段BE，
∵ADBO=BDAH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC= ．