Question

Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連接OD、DE．
①求證：直線DE是⊙O的切線．
②當⊙O的半徑為，DE=1時，求AD長．
③探究：當Rt△ABC的邊AB、BC滿足什么條件時，四邊形OBED是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠CDB=90°，推出DE=BE，得到∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，推出∠ODE=90°即可；
（2）當⊙O的半徑為時，可求出直徑AB=2，因為E是BD的中點，判斷出DE是三角形的中位線，
據此即可求出DE的長，從而得到AD的長．
（3）當AB=BC時，三角形為等腰直角三角形，據此求出BE=BO，又知∠ABC=90°，可知四邊形OBED是正方形．
解答：解：如右圖所示，連接BD，
①∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中點，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中點，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵⊙O的半徑為時，
∴AB=2，
又∵E為BC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
故AD=DC，
∴AD==．

（3）當AB=BC時，三角形為等腰直角三角形，此時，四邊形OBED是正方形．
∵AB=AC，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴O、E為AB、BC中點，
∴OB=BE，
又∵∠OBE=∠ODE=90°，
∴四邊形OBED是正方形．
點評：本題考查了切線的判定、勾股定理和正方形的判定，綜合性較強，要注意作出合適的輔助線，為解題創造條件．