Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的頂點D在邊AC上，點E、F在邊AB上，點G在邊BC上．
（1）求證：AE=BF；
（2）若BC=

2

cm，求正方形DEFG的邊長．

Answer 1

分析：（1）要證明AE=BF，只要證明三角形BGF和三角形ADE全等即可；
（2）直角三角形BFG中，∠B=∠=45°，有BC的長，那么正方形的邊長就可以求出來了．

解答：（1）證明：∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A=∠B．
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DE=GF，∠DEA=∠GFB=90°．
∴△ADE≌△BGF．
∴AE=BF．

（2）解：∵∠DEA=90°，∠A=45°，
∴∠ADE=45°．
∴AE=DE，同理BF=GF，又AB=

2

BC，
∴EF=AE=BF=

1

3

AB=

1

3

×

2

BC=

1

3

×

2

×

2

=

2

3

（cm）．
∴正方形DEFG的邊長為

2

3

cm．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定和正方形的性質等知識點．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．