Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（7，0），點B的坐標為（3，4），

（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
（2）將線段AB繞A點順時針旋轉75°至AC，直接寫出點C的坐標.
（3）在y軸上找一點P，第一象限找一點Q，使得以O、B、Q、P為頂點的四邊形是菱形，求出點Q的坐標；
（4）△OAB的邊OB上有一動點M，過M作MN//OA交AB于N，將△BMN沿MN翻折得△DMN，設MN=x，△DMN與△OAB重疊部分的面積為y，求出y與x之間的函數關系式，并求出重疊部分面積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）C；（3）（3，9）和（）；
（4）函數關系式為，當時，y最大且最大值為．

試題分析：（1）由點O（0，0）、A（7，0）、B（3，4）運用待定系數法求解即可；
（2）根據旋轉的性質C結合圖象特征求解即可；
（3）過B作BE⊥OA于E，則BE＝4，OE＝3．如圖Ⅰ，分①若OB、OP為菱形一組鄰邊時，②若BO、BP為一組鄰邊時，③若OP、BP為一組鄰邊時，根據菱形的性質及勾股定理求解即可；
（4）依題得△OBA面積為28，當MN＝＝時，點D剛好在OA上，分①當0＜x≤時，②當＜x＜5時，根據相似三角形的性質及二次函數的性質求解即可.
（1）運用待定系數法，由點O（0，0）、A（7，0）、B（3，4）求得所以拋物線為；
（2）C；
（3）過B作BE⊥OA于E，則BE＝4，OE＝3．

如圖Ⅰ，①若OB、OP為菱形一組鄰邊時，當P1在y軸正半軸時，BQ₁∥y軸且BQ₁＝OB＝5，則Q₁為（3，9）；若P在y軸負半軸時，同理求得Q點為(3，－1)，但不在第一象限，不予考慮；②若BO、BP為一組鄰邊時，相應的點Q在第二象限，不予考慮；③若OP、BP為一組鄰邊時，則BQ₂∥y軸，Q₂在BE上，設BQ₂＝m，則OQ₂＝m，EQ₂＝4－m，由Rt△OCQ₂列方程，解得，求得Q₂為（）；綜上所述滿足條件的Q點有（3，9）和（）；
（4）依題得△OBA面積為28，當MN＝＝時，點D剛好在OA上，所以分兩種情況考慮：
①當0＜x≤時，△DMN≌△BMN，△BMN∽△BOA，而，計算得；
當時，y最大且最大值為．
②當＜x＜5時，連結BD交MN于F、交OA于G，DM交OA于H，DN交OA于I，

由△BMN∽△BOA求得DF＝BF＝，FG＝4－，DG＝DF－FG＝，
再由△DHI∽△DMN得，計算得HI＝，
＝，
配方得；當時，y最大且最大值為．
綜上所述，函數關系式為，當時，y最大且最大值為．
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．