Question

如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點P.
（1）如果∠A=70°，求∠BPC的度數；
（2）如圖②，過P點作直線MN∥BC，分別交AB和AC于點M和N，試求∠MPB+∠NPC的度數（用含∠A的代數式表示）；

①                   ②             ③            ④
在（2）的條件下，將直線MN繞點P旋轉.
（ⅰ）當直線MN與AB、AC的交點仍分別在線段AB和AC上時，如圖③，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由；
（ⅱ）當直線MN與AB的交點仍在線段AB上，而與AC的交點在AC的延長線上時，如圖④，試問（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明你的理由；若不成立，請給出∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數量關系，并說明你的理由.

Answer 1

（1）125°；（2）∠MPB+∠NPC=90°-∠A；（3）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A，∠MPB-∠NPC=90°-∠A.

試題分析：（1）由三角形內角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠A，由角平分線的性質可知及三角形內角和定理可求出∠BPC的度數；
（2）利用平行線的性質求解或先說明∠BPC=90°+∠A；
（3）（ⅰ）先說明∠BPC=90°+∠A，則∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A；（ⅱ）不成立，∠MPB-∠NPC=90°-∠A.理由：由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，因此∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A.
試題解析：：（1）∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵∠1=∠ABC，
∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）
=×110°=55°，
∴∠BPC=180°-（∠1+∠2）=180°-55°=125°；
（2）由（1）可證∠BPC=90°+∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A；
（3）（ⅰ）∠MPB+∠NPC= 90°-∠A.
理由：先說明∠BPC=90°+∠A，則∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A；
（ⅱ）不成立（1分），∠MPB-∠NPC=90°-∠A（1分）.
理由：由圖可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，由（ⅰ）知：∠BPC=90°+∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC=180°-(90°+∠A)= 90°-∠A.
考點: （1）平行線的性質；2.角平分線的性質；3.三角形內角和.