Question

如圖，在⊙O中，弦AB=10，CD=8，弦AB和CD相交于點E，連接AD和BC．
（1）求證：△AED∽△CEB；
（2）當弦AB不動，弦CD移動時，是否存在一個位置使CE=ED？若存在，請求出BC：AD的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△AED和△CEB中，∠AED和∠CEB為對頂角相等，∠A和∠C為同弧所對的圓周角相等，所以兩三角形相似；
（2）由（1）知△AED∽△CEB；所以BC：AD=BD：DE，而CE=ED，且CD=8，所以CE=DE=4，只需求出BE的長，而BE的長可通過△AED∽△CEB，得出CE：AE=BE：DE；從而列方程解得BE有兩個值，AE也就有兩個值，因此BC：AD的值即可求出．
解答：解：（1）在△AED和△CEB中，
∵∠AED=∠CEB；
且∠A和∠C同為弧BD所對的圓周角；
∴∠A=∠C；
∴△AED∽△CEB；

（2）∵△AED∽△CEB；
∴BC：AD=BE：DE；
CE：AE=BE：DE；
在CE：AE=BE：DE中
CE=DE=4，AE+BE=10；
∴4：（10-BE）=BE：4；
解之得BE=2或8；
∴在BC：AD=BD：DE中
BC：AD=1：2或者BC：AD=2．
點評：此題主要考查了三角形相似的判定以及對應線段成比例，難易程度適中．