Question

如圖，
（1）已知：P為半徑為5的⊙O內一點，過P點最短的弦長為8，則OP=______
（2）在（1）的條件下，若⊙O內有一異于P點的Q點，過Q點的最短弦長為6，且這兩條弦平行，求PQ的長．
（3）在（1）的條件下，過P點任作弦MN、AB，試比較PM•PN與PA•PB的大小關系，且寫出比較過程．你能用一句話歸納你的發現嗎？
（4）在（1）的條件下，過P點的弦CD=，求PC、PD的長．

Answer 1

解：（1）連接OP，過點P作CD⊥OP于點P，連接OD．
根據題意，得CD=8，OD=5．
根據垂徑定理，得PD=4，
根據勾股定理，得OP=3；



（2）根據平行線的性質和垂線的性質，知O、P、Q三點共線．
根據（1）的求解方法，得OQ=4，則PQ=1或7；

（3）連接AM、BN．
∵∠A=∠N，∠M=∠B，
∴△APM∽△NPB，
∴，
即PM•PN=PA•PB；

（4）作直徑AB，根據相交弦定理，得PC•PD=PA•PB=（5-3）（5+3）=16，
又CD=，
設PC=x，則PD=-x，則有x（-x）=16，
解，得x=3或x=．
即PC=3或，PD=或3．
分析：（1過點P的最短的弦即為過點P垂直于OP的弦，根據垂徑定理、勾股定理進行計算；
（2）根據（1）的方法求得OQ的長，進而求得PQ的長；
（3）根據相似三角形的判定及性質進行證明；
（4）過點P作直徑EF，根據（3）中得到的結論，知PC•PD=PE•PF，再結合已知條件進行計算．
點評：此題的綜合性較強，綜合考查了相交弦定理、垂徑定理、勾股定理以及相似三角形的判定及性質．