Question

14．如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN、EF，M、N、E、F分別在邊AB、C D、A D、BC上．小明認(rèn)為：若MN=EF，則MN⊥EF；小亮認(rèn)為：若MN丄EF，則MN=EF，你認(rèn)為（　　）

• A． 兩人都對(duì)
• B． 僅小亮對(duì)
• C． 僅小明對(duì)
• D． 兩人都不對(duì)

Answer 1

分析 分別過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)EF與MN相交于點(diǎn)O，MP與EF相交于點(diǎn)Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得EG=MP，對(duì)小明同學(xué)的說法，先利用“HL”證明Rt△EFG和Rt△MNP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MNP=∠EFG，再根據(jù)角的關(guān)系推出∠EQM=∠MNP，然后根據(jù)∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，從而得到∠MOQ=90°，根據(jù)垂直的定義，MN⊥EF，當(dāng)E向D移動(dòng)，F(xiàn)向B移動(dòng)，同樣使MN=EF，此時(shí)就不垂直；對(duì)小亮同學(xué)的說法，先推出∠EQM=∠EFG，∠EQM=∠MNP，然后得到∠EFG=∠MNP，然后利用“角角邊”證明△EFG和△MNP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=MN．

解答 解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P，設(shè)EF與MN相交于點(diǎn)O，MP與EF相交于點(diǎn)Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴EG=MP，
對(duì)同學(xué)小明的說法：
在Rt△EFG和Rt△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=EF}\\{EG=MP}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFG≌Rt△MNP（HL），
∴∠MNP=∠EFG，
∵M(jìn)P⊥CD，∠C=90°，
∴MP∥BC，
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP，
又∵∠MNP+∠NMP=90°，
∴∠EQM+∠NMP=90°，
在△MOQ中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP）=180°-90°=90°，
∴MN⊥EF，
當(dāng)E向D移動(dòng)，F(xiàn)向B移動(dòng)，同樣使MN=EF，此時(shí)就不垂直，
故小明不正確．
對(duì)乙同學(xué)的說法：∵M(jìn)P⊥CD，∠C=90°，
∴MP∥BC，
∴∠EQM=∠EFG，
∵M(jìn)N⊥EF，
∴∠NMP+∠EQM=90°，
又∵M(jìn)P⊥CD，
∴∠NMP+∠MNP=90°，
∴∠EQM=∠MNP，
∴∠EFG=∠MNP，
在△EFG和△MNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFG=∠MNP}\\{∠EGF=∠MPN=90°}\\{EG=MP}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△MNP（AAS），
∴MN=EF，故小亮同學(xué)的說法正確，
綜上所述，僅小亮同學(xué)的說法正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，通常情況下，求兩邊相等，或已知兩邊相等，都是想法把這兩條線段轉(zhuǎn)化為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行求解．