Question

已知a、b是實數，關于x、y的方程組

y=x3-ax2-bx y=ax+b

有整數解（x，y），求a，b滿足的關系式．

Answer 1

分析：首先根據已知條件把ax+b代入y=x³-ax²-bx中消去未知數a，b，然后整理式子y=x³-xy，使其變為用含x的代數式表示y，再根據x，y都是整數進行分類討論，計算出x與y的值，再把x與y的值代入y=ax+b中即可

解答：解：將y=ax+b代入y=x³-ax²-bx，消去a，b，得：
y=x³-xy，于是（x+1）y=x³，
若x+1=0，即x=-1，則上式左邊為0，右邊為-1不可能，所以x+1≠0，
于是y=

x3

x+1

=x²-x+1-

1

x+1

∵x，y都是整數
∴x+1=±1
即：x=-2或x=0
∴y=8或y=0
故

x=-2 y=8

或

x=0 y=0

當

x=-2 y=8

時，代入y=ax+b得：-2a+b=8，變形的2a-b+8=0
當

x=0 y=0

時，代入y=ax+b得：b=0
綜上所述，a，b滿足關系式是2a-b+8=0或b=0，a是任意實數

點評：此題主要考查了整體代入法消元和數學中的分類討論思想的運用，做此題的關鍵是分類討論時要考慮全面，題目難度較大，綜合性較強．