Question

（2012•南海區三模）小明家打算建一個苗圃，苗圃的兩邊靠墻（這兩堵墻互相垂直），另外的部分用30米長的籬笆圍成．小明的爸爸提出一個問題：怎樣圍才能使苗圃的面積盡可能地大？小明思考后，設計了以下三種方案：
方案一：圍成斜邊為30米的等腰直角三角形（如圖1）；
方案二：圍成邊長為15米的正方形（如圖2）；
方案三：圍成直角梯形，其中∠BCD=120°（如圖3）．
解答下列問題：
（1）分別計算方案一、方案二中苗圃的面積S₁，S₂，并比較S₁，S₂的大小；
（2）設方案三中CD的長為x米，苗圃的面積為S₃平方米，求S₃與x之間的函數關系式，并求出S₃的最大值；（參考數據：

3

取1.74，π取3.15）

Answer 1

分析：（1）由三角形和正方形的面積公式求得S₁、S₂的大小；
（2）根據直角梯形面積公式列出函數關系式并求得最大值．

解答：解：（1）∵圍成斜邊為30米的等腰直角三角形，
∴直角邊長為30sin45°，
∴S₁=

1

2

×（30sin45°）2=225 m²，
∵圍成邊長為15米的正方形，
∴S₂=15×15=225 m²．

（2）過點C作CE⊥AD
∵∠BCD=120°，
∴EC=x•sin60°，ED=

1

2

x，BC=30-x，AE=30-x，
∴S₃=

1

2

×（30-x+30-x+

1

2

x）×x×sin60°
=15

3

x-

3 3

8

x2
=-

3 3

8

（x-20）2+150

3

∴當x=20時，S₃取得最大值，為150

3

．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及銳角三角函數的應用等知識，根據已知得出圖形的各邊長是解題關鍵．