Question

已知三角形ABC，AD為BC邊中線，P為BC上一動點，過點P作AD的平行線，交直線AB或延長線于點Q，交CA或延長線于點R．
（1）當點P在BD上運動時，過點Q作BC的平行線交AD于E點，交AC于F點，求證：QE=EF；
（2）當點P在BC上運動時，求證：PQ+PR為定值．

Answer 1

（1）證明：∵QF∥BC，
∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．
∴，
∵BD=DC，
∴QE=EF．

（2）解：當點P與點B（或點C）重合時，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線，
∴PQ+PR=2AD．
當點P在BD上（不與點B重合）運動時，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線，
∴RQ=2AE．
∵QF∥BC，PQ∥AD，
∴四邊形PQED為平行四邊形．
∴PQ=DE，
∴PQ+PR=2DE+QR=2DE+2AE=2AD．
同理可證，當點P在CD上（不與點C重合）運動時，
PQ+PR=2AD．
∴P在BC上運動時，PQ+PR為定值，
即PQ+PR=2AD．
分析：（1）根據平行線QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根據相似三角形的對應邊成比例可求得；再根據已知條件“AD為BC邊中線”來證明QE=EF；
（2）分類討論：
①當點P與點B（或點C）重合時，AD為△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位線，PQ+PR=2AD；
②當點P在BD上（不與點B重合）運動時，由（1）證明可知，AE為△RQF的中位線，PQ+PR=2AD；
③當點P在CD上（不與點C重合）運動時，PQ+PR=2AD．
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質．要注意的是（2）中，要根據P點的不同位置進行分類求解．