Question

將拋物線y=-x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D，
（1）求平移后的拋物線的表達式和點D的坐標；
（2）∠ACB與∠ABD是否相等？請證明你的結論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平移不改變二次項系數a的值，且平移后的拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），可知平移后的拋物線的表達式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，再運用配方法化為頂點式，即可求出頂點D的坐標；
（2）先由B、C兩點的坐標，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根據勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，則由正切函數的定義求出tan∠CBD=，在△AOC中，由正切函數的定義也求出tan∠ACO=，得出∠ACO=∠CBD，則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD；
（3）設P點的坐標為（1，n），先由相似三角形的形狀相同，得出△CDP是銳角三角形，則n＜4，再根據∠CDP=∠ABC=45°，得到D與B是對應點，所以分兩種情況進行討論：①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA．根據相似三角形對應邊的比相等列出關于n的方程，解方程即可．
解答：解：（1）∵將拋物線y=-x²平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），
∴平移后的拋物線的表達式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，即y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）∠ACB與∠ABD相等，理由如下：
如圖，∵y=-x²+2x+3，
∴點x=0時，y=3，即C點坐標為（0，3），
又∵B（3，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．
在△BCD中，∵BC²=3²+3²=18，CD²=1²+1²=2，BD²=2²+4²=20，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD===，
∵在△AOC中，∠AOC=90°，
∴tan∠ACO==，
∴tan∠ACO=tan∠CBD，
∴∠ACO=∠CBD，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，
即∠ACB=∠ABD；

 （3）∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上，而y=-x²+2x+3的對稱軸為x=1，
∴可設P點的坐標為（1，n）．
∵△ABC是銳角三角形，
∴當△CDP與△ABC相似時，△CDP也是銳角三角形，
∴n＜4，即點P只能在點D的下方，
又∵∠CDP=∠ABC=45°，
∴D與B是對應點，分兩種情況：
①如果△CDP∽△ABC，那么=，
即=，解得n=，
∴P點的坐標為（1，）；
②如果△CDP∽△CBA，那么=，
即=，解得n=，
∴P點的坐標為（1，）．
綜上可知P點的坐標為（1，）或（1，）．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的平移規律，對稱軸、頂點坐標的求法，勾股定理及其逆定理，銳角三角函數的定義，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，難度適中．兩個三角形相似沒有明確對應頂點時要注意分析題意分情況討論結果．