Question

已知：關于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數）的根為整數，雙曲線y=（x＞0）過梯形OABC的頂點A和腰BC中點M，∠BCO=90°．求四邊形OABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：分類討論：當k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；當k≠0，先運用因式分解法解一元二次方程得到x₁=，x₂=1，由于關于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數）的根為整數，則由x₁==1-得到k=1，得到雙曲線的解析式為y=，設M點坐標為（a，b），易得C點坐標為（a，0），B點坐標為（a，2b），則A點的縱坐標為2b，當點A在雙曲線y=上，所以A點坐標為（，2b），然后根據梯形面積公式進行計算，四邊形OABC的面積=（AB+OC）•BC=（a-+a）×2b=2ab-1，ab=2，可計算出面積；當點A在雙曲線y=上，則A點坐標為（，2b），四邊形OABC的面積=（AB+OC）•BC
=2ab-，然后把ab=1代入計算．
解答：解：當k=0，方程變形為：x-1=0，解得x=1；
當k≠0，
∵[kx-（k-1）]（x-1）=0，
∴x₁=，x₂=1，
∵關于x的方程kx²-（2k-1）x+k-1=0（k為整數）的根為整數，
而x₁==1-，
∴k=1，
∴雙曲線的解析式為y=或y=，
設M點坐標為（a，b），
∵四邊形OACB為梯形，∠BCO=90°，且M為BC的中點，
∴C點坐標為（a，0），B點坐標為（a，2b），
∴A點的縱坐標為2b，
當點A在雙曲線y=上，
∴當y=2b時，x=，
∴A點坐標為（，2b），
∴四邊形OACB的面積=（AB+OC）•BC
=（a-+a）×2b
=2ab-1
當k=1，ab=2，四邊形OACB的面積=4-1=3；
當點A在雙曲線y=上，
A點坐標為（，2b），
∴四邊形OACB的面積=（AB+OC）•BC
=（a-+a）×2b
=2ab-
當k=0，ab=1，四邊形OACB的面積=2-=；
∴四邊形OABC的面積為3或．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；平行于x軸的直線上所有點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相同；運用梯形的面積確定線段平行關系和計算面積；運用因式分解法解一元二次方程；分類討論的思想方法在解題常用到．