Question

（2013•海陵區模擬）已知點A是雙曲線y=

3

x

在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為一邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數圖象上運動，則這個函數的解析式為

y=-

9

x

（x≠0）

．

Answer 1

分析：設點A的坐標為（a，

3

a

），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點C作CD⊥x軸于點D，設出點C坐標，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，繼而得出y與x的函數關系式．

解答：解：設A（a，

3

a

），
∵點A與點B關于原點對稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=

3

AO，
∵AO=

a2+( 3 a )2

，
∴CO=

3a2+ 27 a2

，

過點C作CD⊥x軸于點D，
則可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
設點C的坐標為（x，y），則tan∠AOD=tan∠OCD，即

3 a

a

=

x

-y

，
解得：y=-

a2

3

x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+

27

a2

，
將y=-

a2

3

x代入，可得：x²=

27

a2

，
故x=

3 3

a

，y=-

a2

3

x=-

3

a，
則xy=-9，
故可得：y=-

9

x

（x≠0）．
故答案為：y=-

9

x

（x≠0）．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題，涉及了解直角三角形、等邊三角形的性質及勾股定理的知識，綜合考察的知識點較多，解答本題的關鍵是將所學知識融會貫通，注意培養自己解答綜合題的能力．