Question

（2013•海陵區模擬）已知直線y=-

3

4

x+6與x軸交于點B，與y軸交于點A．
（1）⊙P經過點O、A、B，試求點P的坐標；
（2）如圖2，點Q為線段AB上一點，QM⊥OA、QN⊥OB，連結MN，試求△MON面積的最大值；
（3）在∠OAB內是否存在點E，使得點E到射線AO和AB的距離相等，且這個距離等于點E到x軸的距離的

2

3

？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先判斷出AB是圓P的直徑，P為AB的中點，于是可以求出點P的坐標；
（2）設點Q（a，-

3

4

a+6），列出含有a的△MON的面積的表達式，根據二次函數的性質，求出其最值；
（3）假設存在點E（a，b）（a＞0），點E到x軸的距離b，E到射線AO為a，由題意得出a和b之間的關系，然后列出a的一元二次方程求出a的值．

解答：解：（1）令x=0，y=6，令y=0，x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙P直徑，P為AB的中點，
∴點P（4，3）；

（2）設點Q（a，-

3

4

a+6），
△MON的面積=

1

2

a(-

3

4

a+6)=-

3

8

(a-4)2+6，
△MON的面積的最大值為6；

（3）假設存在點E（a，b）（a＞0），
∵點E到射線AO為a，點E到x軸的距離b，點E到射線AO和AB的距離相等，且這個距離等于點E到x軸的距離的

2

3

，
∴a=

2

3

|b|，
∴點E（a，

3

2

a），
∵點E到直線AB的距離為

1

5

|9a-24|，
∵點E到射線AO為a，
∴

1

5

|9a-24|=a，
解得a=

12

7

或b=6
當a=

12

7

時，b=

18

7

，
當a=6時，b=-9，
綜上E（

12

7

，

18

7

)或（6，-9）．

點評：本題主要考查一次函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數最值得求法以及點到直線距離的求解，此題難度比較大．