Question

【題目】二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點（﹣1，4），且與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）點N是二次函數圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在點N，使得BM與NC相互垂直平分？若存在，求出所有滿足條件的N點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式為；

（2）當時，MN取最大值，最大值為．

（3）存在點N，使得BM與NC相互垂直平分，點N的坐標為（﹣1，4）．

【解析】

試題分析：（1）令一次函數關系式中x=0、x=﹣3，求出點A、B的坐標，由三點的坐標利用待定系數法即可得出結論；

（2）設點N的坐標為（m，）（﹣3＜m＜0），則點M的坐標為（m，﹣ m+1），用含m的代數式表示出來MN，結合二次函數的性質即可解決最值問題；

（3）假設存在，設點N的坐標為（m，）（﹣3＜m＜0），連接BN、CM，當四邊形BCMN為菱形時，BM與NC相互垂直平分，根據BC=MN算出m的值，從而得出點N的坐標，再去驗證BN是否等于BC，由此即可得出結論．

試題解析：（1）令一次函數y=﹣x+1中x=0，則y=1，

∴點A的坐標為（0，1）；

令一次函數y=﹣x+1中x=﹣3，則y=﹣×（﹣3）+1=，

∴點B的坐標為（﹣3，）．

將點A（0，1）、點B（﹣3，）、點（﹣1，4）代入到y=ax2+bx+c中，

得：，解得：．

∴二次函數的表達式為．

（2）設點N的坐標為（m，）（﹣3＜m＜0），則點M的坐標為（m，﹣ m+1），

∴MN=﹣（﹣m+1）==，

∴當時，MN取最大值，最大值為．

（3）假設存在，設點N的坐標為（m，）（﹣3＜m＜0），連接BN、CM，如圖所示．

若要BM與NC相互垂直平分，只需四邊形BCMN為菱形即可．

∵點B坐標為（﹣3，），點C的坐標為（﹣3，0），

∴BC=．

∵四邊形BCMN為菱形，

∴MN==BC=，

解得：m1=﹣2，m2=﹣1．

當m=﹣2時，點N的坐標為（﹣2，），

∴BN=，BC=，BN≠BC，

故m=﹣2（舍去）；

當m=﹣1時，點N的坐標為（﹣1，4），

∴BN=，BC=，BN=BC，

∴點N（﹣1，4）符合題意．

故存在點N，使得BM與NC相互垂直平分，點N的坐標為（﹣1，4）．