Question

如圖，矩形ABCD的頂點A坐標為（0，0），頂點B的坐標是（-2，1），頂點C在y軸上．
（1）求點D的坐標；
（2）將矩形ABCD繞點O順時針旋轉，使點D落在x軸的點G處，得到矩形AEFG，EF與AD交于點H．過點H的反比例函數圖象交FG于點I．求△AHI的面積；
（3）小明猜想△AHI是一個直角三角形，他的猜想對嗎？請談談你的看法．

Answer 1

【答案】分析：（1）點B，D到y軸的距離相等，因而兩點的橫坐標一定互為相反數，即D的橫坐標是2，并且易證△OBP∽△DAQ，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出D點的縱坐標．
（2）根據OE=OB，就可以得到E點的縱坐標，即H的縱坐標．H又在直線CD上，CD的解析式易求得，則H的坐標就可以求出．根據待定系數法就可以求出反比例函數的解析式，進而求出點I的坐標．
（3）中的問題，先驗證△AHI是一個直角三角形，可以根據點的坐標求出三角形的三邊的長，判斷是否是直角三角形，若是，面積就可以求出．
解答：解：（1）過B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
易得△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
過點B，D作x軸的垂線BP，DQ，則OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴=，
即=，
∴DQ=4，
則D的坐標是（2，4）．

（2）（3）設直線OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函數解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根據勾股定理得到OB=，
∴OE=OB=，
即H點的縱坐標是，
把y=代入y=2x，得到x=，
則H點的坐標是（，），
設反比例函數的解析式是y=，把H點的坐標（，）代入解得k=，
則解析式是y=，
在直角△ADQ中，根據勾股定理得到OD=2，
∴OG=OD=2，
則I點的橫坐標是2，
把x=2代入解析式得到y=，
則I點的坐標是（2，），
∴OH²=，OI²=HI²=，
∵+=，
即AH²+HI²=AI²，
∴△AHI是一個直角三角形，
∴△AHI的面積是•÷2=．
點評：本題是一個函數與矩形相結合的題目，正確的審題，先證明三角形是直角三角形可以簡化計算過程．