Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，點D在射線BC上，以點D為圓心，BD為半徑畫弧交邊AB于點E，過點E作EF⊥AB交邊AC于點F，射線ED交射線AC于點G．

（1）求證：△EFG∽△AEG；

（2）請探究線段AF與FG的倍數關系，并證明你的結論。

（3）設FG=x，△EFG的面積為y，求y關于x的函數解析式，并直接寫出x的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF=3 FG ；（3）

【解析】分析：（1）先證明∠A=∠2，然后利用相似三角形的判定方法即可得到結論；

（2）證明△EFG∽△AEG即可得解.

（3）作EH⊥AF于點H，如圖1，利用勾股定理計算出AB=2，利用△EFG∽△AEG得到，再證明Rt△AEF∽Rt△ACB得到，所以，則EG=2x，AG=4x，AF=3x，EF=x，AE=x，接著利用相似比表示出EH=x，AH=x，然后根據三角形面積公式表示出y與x的關系，最后利用CF=4-3x可確定x的范圍；

詳解：（1）證明：∵ED=BD，

∴∠B=∠2，

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°．

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠A=∠2，

∵∠EGF=∠AGE，

∴△EFG∽△AEG；

（2）答：AF=3 FG

證明：作EH⊥AF于點H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，

∴ ．

∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，．

∵ △EFG∽△AEG，

∴ ．

∴ EG=2 FG，

∴AG=2 EG=4 FG

∴AF=3 FG

（3）∵ FG=x，

∴ EG=2x，AG=4x．

∴ AF=3x．

∵ EH⊥AF，

∴ ∠AHE=∠EHF=90°．

∴ ∠EFA+∠FEH=90°．

∵ ∠AEF=90°，

∴ ∠A+∠EFA=90°．

∴ ∠A=∠FEH．

∴ tanA =tan∠FEH．

∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，．

∴ EH=2HF．

∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，．

∴ AH=2EH．

∴ AH=4HF．

∴ AF=5HF．

∴ HF=．

∴ ．

∴ ．

x的取值范圍．