Question

閱讀理解：
給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則這個矩形是給定矩形的“加倍”矩形．如圖，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“加倍”矩形．請你解決下列問題：
（1）邊長為a的正方形存在“加倍”正方形嗎？如果存在，求出“加倍”正方形的邊長；如果不存在，說明理由．
（2）當矩形的長和寬分別為m，n時，它是否存在“加倍”矩形？請作出判斷，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意：若兩個正方形是相似圖形，根據相似圖形的性質，面積比是相似比即周長比的平方；故不存在“加倍”正方形；
（2）設“加倍”矩形的長和寬分別為x，y，可得

x+y=2(m+n) xy=2mn

的關系，分析可得x，y就是關于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的兩個正根，判斷可得：△=4（m²+n²）＞0，故存在“加倍”矩形．

解答：解：（1）不存在．
因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為2時，則面積比必定是4，所以不存在．
（相同解答均可給分，如：滿足周長是2倍時，則面積就成了4倍，所以不存在）（4分）

（2）存在．（5分）
設“加倍”矩形的長和寬分別為x，y．
則：

x+y=2(m+n) xy=2mn

．（7分）
x，y就是關于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的兩個正根．（8分）
∵△=[-2（m+n）]²-8mn=4（m²+n²）（9分）．
當m，n不同時為零時，此題中，m＞0，n＞0．
∴△=4（m²+n²）＞0．（10分）
∴方程有兩個不相等的正實數根x和y（11分）
即：存在一個矩形是已知矩形的“加倍”矩形（12分）

點評：解答本題要充分利用所有正方形相似的特殊性質；注意用根的判別式來判斷根的存在問題．