Question

閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“減半”矩形．

請你解決下列問題：
（1）當矩形的長和寬分別為1，2時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并請說明理由；
（2）邊長為a的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為x、y，根據如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似圖形，周長比是2，面積比就應該是4，所以不存在“減半”正方形．

解答：解：（1）不存在．（1分）
假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為x、y，
則

x+y= 3 2 xy=1

，（3分）
由①得：y=

3

2

-x③，
把③代入②得：x²-

3

2

x+1=0，
b²-4ac=

9

4

-4＜0，（5分）
所以不存在；

（2）不存在．（6分）
因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為

1

2

時，面積比必定是

1

4

，
所以正方形不存在“減半”正方形．（10分）

點評：本題考查反證法和相似圖形的性質，關鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關系．