Question

【題目】如圖⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 點M由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點N由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s ．連接MN，設運動時間為t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列問題：

⑴設△AMN的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；

⑵如圖⑵，連接MC，將△MNC沿NC翻折，得到四邊形MNPC,當四邊形MNPC為菱形時，求t的值；

⑶當t的值為 ，△AMN是等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）t=；（3）或或

【解析】

（1）如圖過點M作MD⊥AC于點D，利用相似三角形的性質求出MD即可解決問題；

（2）連接PM,交AC于D，，當四邊形MNPC為菱形時，ND=，即可用t表示AD，再結合第一問的相似可以用另外一個含t式子表示AD，列方程計算即可；

（3）分別用t表示出AP、AQ、PQ，再分三種情況討論：①當AQ＝AP②當PQ＝AQ③當PQ＝AP，再分別計算即可．

解：⑴過點M作MD⊥AC于點D．

∵,；

∴AB=10cm．BM=AN=2t

∴AM=10-2t．

∵△ADM∽△ACB

∴即

∴

∴

又

∴S的最大值是；

⑵連接PM,交AC于D，

∵四邊形MNPC是菱形，則MP⊥NC,ND=CD

∵CN=8-2t

∴ND=4-t

∴AD=2t+4-t=t+4

由⑴知AD=

∴=t+4

∴t=；

（3）由（1）知，PE＝﹣t+3，與（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4

∴PQ＝＝＝，

在△APQ中，

①當AQ＝AP，即t＝5﹣t時，解得：t1＝；

②當PQ＝AQ，即＝t時，解得：t2＝，t3＝5；

③當PQ＝AP，即＝5﹣t時，解得：t4＝0，t5＝；

∵0＜t＜4，

∴t3＝5，t4＝0不合題意，舍去，

∴當t為s或s或s時，△APQ是等腰三角形．