Question

（2007•廈門）已知：如圖，PA、PB是⊙O的切線；A、B是切點；連接OA、OB、OP，
（1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度數；
（2）過O作OC、OD分別交AP、BP于C、D兩點，
①若∠COP=∠DOP，求證：AC=BD；
②連接CD，設△PCD的周長為l，若l=2AP，判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得到∠APO=30°，根據HL判定△PAO≌△PBO，從而得到∠OPB=∠OPA=30°．
（2）①由（1）知△PAO≌△PBO，得到∠POB=∠POA；再利用AAS判定△AOC≌△BOD，從而得到AC=BD；
②本題要充分利用l=2AP的條件．延長射線PA到F，使AF=BD；易證得△OAF≌△OBD（SAS），得OF=OD；
由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
在△OCF和△OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可證得△OCF≌△OCD，那么兩三角形的對應邊上的高也相等，則過O作OE⊥CD，則OE=OA，由此可證得CD與⊙O相切．
解答：解：（1）∵PA為⊙O的切線，
∴∠OAP=90°；
又∠AOP=60°，
∴∠APO=30°；
由切線長定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°；
又OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（HL）；
∴∠OPB=∠OPA=30°．

（2）①證明：由（1）中知△PAO≌△PBO；
∴∠POB=∠POA，又∠COP=∠DOP；
∴∠COA=∠DOB，而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD；
∴AC=BD；
②延長射線PA到F使AF=BD，
∵OA=OB，∠OAF=∠OBD；
∴△OAF≌△OBD；
∴OF=OD；
∵△PCD的周長為l，l=2AP，
∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
又∵OC=OC，OF=OD；
∴△OFC≌△OCD（SSS）；
所以CF和CD邊上所對應的高也應該相等．
過OE⊥CD于E，則OE=OA=R（R為半徑長度）；
所以CD與⊙O相切．
點評：此題主要考查學生對切線長定理、全等三角形的判定和性質、切線的判定等知識點的綜合運用能力．