Question

（2007•廈門）已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，BD＞AD，∠A=∠ACD，
（1）若∠A=∠B=30°，BD=，求CB的長；
（2）過D作∠CDB的平分線DF交CB于F，若線段AC沿著AB方向平移，當點A移到點D時，判斷線段AC的中點E能否移到DF上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求CB的長，依據已知條件去做；利用外角性質得，∠BDC=∠A+∠ACD=60°，△BCD中，∠BCD=180°-30°-60°=90°，BD=，CB=BD•cos30°=；
（2）AC的中點E能移到DF上，則DF＞AC根據題中條件證明△BDF∽△BAC，則有=，BD＞AD，=＞，DF＞AC．從而說明所以說E′在線段DF上．
解答：解：（1）∵∠A=∠B=30°，
∴∠ACB=120°，
又∠ACD=30°，
∴∠DCB=90°，
∵BD=，
∴CB=BD•cos30°=；

（2）AC的中點E能移到DF上．
∵∠CDB=∠A+∠DCA，∠A=∠DCA，
∴∠CDB=2∠A，又DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠FDB=∠A，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴=，
∵BD＞AD，
∴=，＞，
∴DF＞AC，
過E作EE′∥AD交DF于E′，
則四邊形AEE′D為平行四邊形，
則DE′=DE，
由于DF＞AC=AE=DE′，
所以說E′在線段DF上．
點評：考查相似三角形的判定，解直角三角形，平行四邊形的性質．