Question

已知二次函數y₁=x²-2x-3及一次函數y₂=x+m．
（1）求該二次函數圖象的頂點坐標以及它與x軸的交點坐標；
（2）將該二次函數圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象．請你在圖中畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線y₂=x+m有三個不同公共點時m的值；
（3）當0≤x≤2時，函數y=y₁+y₂+（m-2）x+3的圖象與x軸有兩個不同公共點，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將二次函數的解析式化為頂點式，可求出其頂點坐標；令拋物線的解析式中，y=0，可求出它函數圖象與x軸的交點坐標．
（2）畫出此函數圖象后，可發現，若直線與新函數有3個交點，可以有兩種情況：
①直線經過原二次函數與x軸的交點A（即左邊的交點），可將A點坐標代入直線的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函數圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數，該二次函數與原函數開口方向相反、對稱軸相同、與x軸的交點坐標相同，可據此判斷出該函數的解析式，若直線與新函數圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯立直線與該二次函數的解析式，可化為一個關于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據這一條件可確定m的取值．
（3）根據題意可得到新函數y的函數解析式；當0≤x≤2時，函數與x軸有兩個不同的交點則有：
①根的判別式△＞0；
②由于拋物線開口向上，所以當x=0和x=2時，y值應具備：y≥0；
（可結合圖象進行判斷，當x取0、2時，函數圖象均在x軸或x軸上方．）
③拋物線的對稱軸在0～2的范圍內，不包括0和2；
（若取0或2，那么在0≤x≤2的區間內，函數與x軸不會有兩個不同的交點．）
根據上述三個條件即可確定m的取值范圍．
解答：解：（1）∵y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4（1分）
則拋物線的頂點坐標為（1，-4）（2分）
∵y₁=x²-2x-3的圖象與x軸相交，
∴x²-2x-3=0，（3分）
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x=-1，或x=3，
∴拋物線與x軸相交于A（-1，0）、B（3，0），（4分）

（2）翻折后所得新圖象如圖所示，（5分）
平移直線y₂=x+m知：直線位于l₁和l₂時，它與新圖象有三個不同公共點，如圖所示，
①當直線位于l₁時，此時l₁過點A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1；（6分）
②當直線位于l₂時，
此時l₂與函數y=-x²+2x+3（-1≤x≤3）的圖象有一個公共點，
∴方程x+m=-x²+2x+3，
即x²-x-3+m=0有一個根，（7分）
故△=1-4（m-3）=0，
即m=；（8分）

（3）∵y=y₁+y₂+（m-2）x+3
=x²+（m-3）x+m，
∵當0≤x≤2時，函數y=x²+（m-3）x+m的圖象與x軸有兩個不同的交點，
∴m應同時滿足下列三個方面的條件：
方程x²+（m-3）x+m=0的判別式△=（m-3）²-4m=（m-1）（m-9）＞0，（9分）
拋物線y=x²+（m-3）x+m的對稱軸滿足0＜＜2，（10分）
當x=0時，函數值y=m≥0，
當x=2時，函數值y=3m-2≥0，（11分）
即，
解得；
∴當時，函數圖象y=y₁+y₂+（m-2）x+3（0≤x≤2）與x軸有兩個不同交點．（12分）
點評：此題考查了二次函數圖象與坐標軸交點及頂點坐標的求法、函數圖象交點以及根據值域確定二次函數參數取值范圍的問題，綜合性強，難度較大．