Question

已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．
（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？
（2）k為何值時，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意得出AB、AC的長，再由根與系數的關系得出k的值；
（2）根據等腰三角形的性質，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數的關系得出k的值．
解答：解：（1）∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，BC=5，
∴AB²+AC²=25，
∵AB、AC的長是關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，
∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
∴AB²+AC²=（AB+AC）²-2AB•AC，
即（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
解得k=2或-5（舍去負數）；

（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴當AB=AC時，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0
解得k不存在；
當AB=BC時，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6
∴△ABC的周長為14或16．
點評：本題考查了解一元二次方程的方法，以及實際應用，注意分論討論思想．