Question

22、附加題：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩個根，求x₁²+x₂²的值．
解：根據根與系數的關系得x₁+x₂=1，x₁-x₂=-3
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1²-2×（-3）=7．
請根據解題過程中體現的數學方法解決下面的問題：
已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個實數根，第三邊BC的長為5．試問：k取何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

Answer 1

分析：先根據根與系數的關系，用k表示出兩邊之積與兩邊之和的值；再利用勾股定理求出k的值，然后將k值代入后解方程，最后還要驗根．

解答：解：設邊AB=a，AC=b．
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩根
∴a+b=2k+3，ab=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=25即（a+b）²-2ab=25
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2．
當k=-5時，方程為x²+7x+12=0解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）．
當k=2時，方程為x²-7x+12=0，解得：x₁=3，x₂=4
∴當k=2時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

點評：本題重點考查了勾股定理及一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．