Question

如圖，點A為直線y=-x上一點，過A作OA的垂線交雙曲線y=

k

x

（x＜0）于點B，若OA²-AB²=12，則k的值為（　　）

A．12

B．-12

C．6

D．-6

Answer 1

分析：延長AB交x軸于C點，作AF⊥x軸于F點，BE⊥x軸于E點，由于直線y=-x為第二、四象限的角平分線，則△AOB、△BEC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得AC=AO=

2

AF，BC=

2

BE=

2

CE，AF=

1

2

OC，可得到AB=AC-BC=

2

（AF-BE），利用OA²-AB²=12變形得2AF•BE-BE²=6，即BE（2AF-BE）=6，由于OC=2AF，BE=EC，所以
BE•OE=6，則得到B點的橫縱坐標之積為-6，從而得到k的值為-6．

解答：解：延長AB交x軸于C點，作AF⊥x軸于F點，BE⊥x軸于E點，如圖，
∵點A為直線y=-x上一點，
∴∠AOC=90°，
∵AB⊥直線y=-x，
∴△AOB、△BEC為等腰直角三角形，
∴AC=AO=

2

AF，BC=

2

BE=

2

CE，AF=

1

2

OC，
∴AB=AC-BC=

2

（AF-BE），
∵OA²-AB²=12，
∴（

2

AF）²-[

2

（AF-BE）]²=12，
整理得2AF•BE-BE²=6，
∴BE（2AF-BE）=6，
∴BE（OC-CE）=6，即BE•OE=6，
設B點坐標為（x，y），則BE=y，OE=-x，
∴BE•OE=-xy=6，
∴xy=-6，
∴k=-6．
故選D．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式；熟練運用等腰直角三角形的性質解決幾何計算．