Question

已知：關于x的方程2x²+kx-1=0
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的一個根是-1，求另一個根及k值．

Answer 1

分析：若方程有兩個不相等的實數根，則應有△=b²-4ac＞0，故計算方程的根的判別式即可證明方程根的情況，第二小題可以直接代入x=-1，求得k的值后，解方程即可求得另一個根．

解答：證明：（1）∵a=2，b=k，c=-1
∴△=k²-4×2×（-1）=k²+8，
∵無論k取何值，k²≥0，
∴k²+8＞0，即△＞0，
∴方程2x²+kx-1=0有兩個不相等的實數根．

解：（2）把x=-1代入原方程得，2-k-1=0
∴k=1
∴原方程化為2x²+x-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=

1

2

，即另一個根為

1

2

．

點評：本題是對根的判別式與根與系數關系的綜合考查，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
并且本題考查了一元二次方程的解的定義，已知方程的一個根求方程的另一根與未知系數是常見的題型．