Question

【題目】如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ．

Answer 1

【答案】 ﹣1
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中點O，連接OH、OD，
則OH=AO= AB=1，
在Rt△AOD中，OD= = = ，
根據三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，
∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，
最小值=OD﹣OH= ﹣1．
（解法二：可以理解為點H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓 上運動當O、H、D三點共線時，DH長度最小）
所以答案是： ﹣1．

【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．