Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=﹣ x+4的圖象與x軸、y軸分別相交于點C、D，四邊形ABCD是正方形，反比例函數y= 的圖象在第一象限經過點A．

（1）求點A的坐標以及k的值：
（2）點P是反比例函數y= （x＞0）的圖象上一點，且△PAO的面積為21，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題可得：C（3，0），D（0，4）．

過A作AE⊥y軸于E，如圖（1）：

在△AED和△DOC中， ，

∴△AED≌△DOC，

∴AE=DO=4，ED=OC=3，

∴A點坐標為（4，7），

∵點A在反比例函數y= 的圖象上，

∴k=28

（2）

解：設點P坐標為（x， ），

①當點P在OA上方時，如圖（2）：

過P作PG⊥y軸于G，過A作AF⊥y軸于F，

∵S△APO+S△PGO=S四邊形PGFA+S△AFO，S△PGO=S△AFO=14，

∴S△APO=S四邊形PGFA，

有： （x+4）（ ﹣7）=21，

解得：x1=﹣8（舍去），x2=2；

即點P的坐標為（2，14）；

②當點P在OA下方時，如圖（3）：

過P作PH⊥x軸于H，過A作AM⊥x軸于M，

∵S△APO+S△PHO=S四邊形PHMA+S△AMO，S△PHO=S△AMO=14，

∴S△APO=S四邊形PHMA，

有： （ +7）（x﹣4）=21，

解得：x3=﹣2（舍去），x4=8，

即點P坐標為（8， ）．

綜上可知：當點P坐標為（2，14）或（8， ）時，△PAO的面積為21

【解析】（1）過點A作AE⊥y軸于E，證明△AED≌△DOC，可得點A坐標，代入求解即可；（2）分兩種情況討論：①點P在OA上方時，過P作PG⊥y軸于G，過A作AF⊥y軸于F，通過得出S△APO=S四邊形PGFA ， 可得點P坐標；②點P在OA下方時，過P作PH⊥x軸于H，過A作AM⊥x軸于M，通過S△APO=S四邊形PHMA ， 可得點P坐標．
【考點精析】掌握反比例函數的概念和反比例函數的圖象是解答本題的根本，需要知道形如y＝k/x（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數．自變量x的取值范圍是x不等于0的一切實數，函數的取值范圍也是一切非零實數；反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點．