Question

（2012•黃浦區二模）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=

1

3

，若將△ACB繞點A順時針旋轉得到Rt△AC′B′，且C′落在CO的延長線上，連接BB′交CO的延長線于點F，則BF=

14

．

Answer 1

分析：過C作CD⊥AB于點D，根據等腰三角形三線合一的性質可得AD=DO，然后根據∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根據BO=AB-AO代入數據求出BO，然后根據旋轉的性質可得AC=AC′，AB=AB′，再根據旋轉角得到∠CAC′=∠BAB′，然后根據三角形的內角和定理求出∠ABB′=∠ACC′，從而求出∠BOF=∠BFO，根據等角對等邊的性質可得BF=BO，從而得解．

解答：解：過C作CD⊥AB于點D，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB=

1

3

=

AC

AB

=

6

AB

，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB=

1

3

=

AD

AC

，
∴AD=

1

3

AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋轉得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=

1

2

（180°-∠CAC′），∠ABB′=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO=∠CAO，
∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（對頂角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14．
故答案為：14．

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰三角形三線合一的性質，三角形的內角和定理，以及銳角三角函數的應用，求出BO的長度之后，難點在于求BF=BO．