Question

如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點A在y軸上，坐標為（0，﹣1），另一頂點B坐標為（﹣2，0），已知二次函數y=x²+bx+c的圖象經過B、C兩點．現將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經過點B，直尺沿x軸正方向平移，當A′D′與y軸重合時運動停止．

（1）求點C的坐標及二次函數的關系式；

（2）若運動過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點M，交拋物線于點N，求線段MN長度的最大值；

（3）如圖②，設點P為直尺的邊A′D′上的任一點，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點，試探究：在直尺平移的過程中，當PQ=時，線段PA、PB、PC之間的數量關系．請直接寫出結論，并指出相應的點P與拋物線的位置關系．

（說明：點與拋物線的位置關系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內，點C在拋物線上，點D′在拋物線外．）

Answer 1

       解：

（1）

如圖1，過點C作CD⊥y軸于D，此時△CDA≌△AOB，

∵△CDA≌△AOB，

∴AD=BO=2，CD=AO=1，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（﹣1，﹣3）．

將B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3）代入拋物線y=x²+bx+c，

解得 b=，c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y=x²+x﹣3．

（2）

設l_BC：y=kx+b，

∵B（﹣2，0），C（﹣1，﹣3），

∴，

解得 ，

∴l_BC：y=﹣3x﹣6，

設M（x_M，﹣3x_M﹣6），N（x_N，x_N²+x_N﹣3），

∵x_M=x_N（記為x），y_M≥y_N，

∴線段MN長度=﹣3x﹣6﹣（x²+x﹣3）=﹣（x+）²+，（﹣2≤x≤﹣1），

∴當x=﹣時，線段MN長度為最大值．

（3）

答：P在拋物線外時，BP²+CP²≥PA²；P在拋物線上時，BP+CP=AP；P在拋物線內，BP²+CP²≥PA²．

分析如下：

如圖2，以Q點為圓心，為半徑作⊙Q，

∵OB=2，OA=1，

∴AC=AB==，

∴BC==，

∴BQ=CQ=，

∵∠BAC=90°，

∴點B、A、C都在⊙Q上．

①P在拋物線外，

如圖3，在拋物線外的弧BC上任找一點P，連接PB，PB，PA，

∵BC為直徑，

∴BP²+CP²=BC²，BC≥PA，

∴BP²+CP²≥PA²．

②P在拋物線上，此時，P只能為B點或者C點，

∵AC=AB=，

∴AP=，

∵BP+CP=BC=，

∴BP+CP=AP．

③P在拋物線內，同理①，

∵BC為直徑，

∴BP²+CP²=BC²，BC≥PA，

∴BP²+CP²≥PA²．

點評：    本題考查了三角形全等、拋物線圖象與性質、函數性質及圓的基礎知識，是一道綜合性比較強的題目．