Question

如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正△ABC的邊長為1，它的一邊AC在MN上，且頂點A與M重合．現將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止滾動．
（1）請在所給的圖中，畫出頂點A在正△ABC整個翻滾過程中所經過的路線圖；
（2）求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路徑長；
（3）求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

Answer 1

分析：（1）根據將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾翻滾到有一個頂點與Q重合即停止滾動，轉動過程中始終是以半徑為1的弧，據此畫出圓弧即可．
（2）根據翻滾路線結合弧長公式求出即可；
（3）根據總結的翻轉角度和翻轉半徑，求出圓弧與梯形的邊長圍成的扇形的面積即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）點A所經過的路線長：

120π×1

180

×4+

180π×1

180

=

11

3

π；

（3）如圖所示：

根據正三角形邊長為1，則高AD為：cos30°=

AD

AC

，則AD=

3

2

，
故面積為：

1

2

×1×

3

2

，
圍成的圖形的面積：3個圓心角為120°的扇形+2個正三角形的面積+一個半圓面積，
（根據要求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S，則最后一段弧沒有和PQ圍成閉合的圖形，故可以不求這部分面積）
所以點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：

1

2

×π×1²+2×

1

2

×1×

3

2

+3×

120π×12

360

=

3

2

π+

3

2

．

點評：本題考查了扇形的面積的計算、等腰梯形的性質、弧長的計算，是一道不錯的綜合題，解題的關鍵是正確地得到點A的翻轉角度和半徑．