Question

31、觀察下列勾股數組：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能發現什么規律，根據你發現的規律，請寫出：
（1）當a=19時，則b、c的值是多少（2）當a=2n+1時，求b、c的值．你能證明所發現的規律嗎．

Answer 1

分析：它們三個一組，都是勾股數，一組勾股數中，并且第一個都是奇數，并且從3開始的連續奇數，每一組勾股數的第二，第三個數是連續整數，第二個數是第一個數的平方減去一除以二．

解答：解：（1）當a=19時，設b=k，則c=k+1，觀察有如下規律：19²+k²=（k+1）²?k=180，故b=180，c=181．
（2）當a=2n+1時，設b=k，則c=k+1，根據勾股定理：a²+b²=c²?（2n+1）²+k²=（k+1）²?k=2n（n+1），即b=2n（n+1），
c=2n（n+1）+1．
證明：a²+b²=（2n+1）²+[2n（n+1）]²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，[2n（n+1）+1]²=4n⁴+8n³+8n²+4n+1，所以a²+b²=c²，
所以a、b、c組成的三角形是直角三角形．

點評：本題考查了學生的觀察能力和勾股定理的逆定理，難度比較大．