Question

【題目】思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達B點的點C，連接BC，取BC的中點P（點P可以直接到達A點），利用工具過點C作CD∥AB交AP的延長線于點D，此時測得CD＝200米，那么A，B間的距離是　 　米．

思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點A順時針方向旋轉，把點E在AC邊上時△ADE的位置作為起始位置（此時點B和點D位于AC的兩側），設旋轉角為α，連接BD，點P是線段BD的中點，連接PC，PE．

①如圖2，當△ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數量關系和位置關系分別是　 　；

②如圖3，當α＝90°時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數量關系和位置關系，并證明你的結論；

③當α＝150°時，若BC＝3，DE＝l，請直接寫出PC2的值．

Answer 1

【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC與PE的數量關系和位置關系分別是PC＝PE，PC⊥PE，見解析；③PC2＝.

【解析】

（1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根據∠APB＝∠DPC即可證明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解題．

（2）①延長EP交BC于F，易證△FBP≌△EDP（SAS）可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE．

②作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE、CF，易證△FBP≌△EDP（SAS），結合已知得BF＝DE＝AE，再證明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE．

③作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE、CF，過E點作EH⊥AC交CA延長線于H點，由旋轉旋轉可知，∠CAE＝150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可證可得PC＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝，即可求出

（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，

在△ABP和△DCP中，

，

∴△ABP≌△DCP（SAS），

∴DC＝AB．

∵AB＝200米．

∴CD＝200米，

故答案為：200．

（2）①PC與PE的數量關系和位置關系分別是PC＝PE，PC⊥PE．

理由如下：如解圖1，延長EP交BC于F，

同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），

∴PF＝PE，BF＝DE，

又∵AC＝BC，AE＝DE，

∴FC＝EC，

又∵∠ACB＝90°，

∴△EFC是等腰直角三角形，

∵EP＝FP，

∴PC＝PE，PC⊥PE．

②PC與PE的數量關系和位置關系分別是PC＝PE，PC⊥PE．

理由如下：如解圖2，作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE、CF，

同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），

∴BF＝DE，PE＝PF＝，

∵DE＝AE，

∴BF＝AE，

∵當α＝90°時，∠EAC＝90°，

∴ED∥AC，EA∥BC

∵FB∥AC，∠FBC＝90，

∴∠CBF＝∠CAE，

在△FBC和△EAC中，

，

∴△FBC≌△EAC（SAS），

∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCE＝90°，

∴△FCE是等腰直角三角形，

∵EP＝FP，

∴CP⊥EP，CP＝EP＝．

③如解圖3，作BF∥DE，交EP延長線于點F，連接CE、CF，過E點作EH⊥AC交CA延長線于H點，

當α＝150°時，由旋轉旋轉可知，∠CAE＝150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，

∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°

同②可得△FBP≌△EDP（SAS），

同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，

在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，

∴HE＝，AH＝，

又∵AC＝AB＝3，

∴CH＝3+，

∴EC2＝CH2+HE2＝

∴PC2＝